Question

7．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S₁、S₂
（1）求AB与DE的长；
（2）求S₁+S₂的值．

Answer 1

分析 （1）由△FGL和△ABG都为等腰直角三角形，于是得到FL=LG，AB=AG，∠FLG=∠A=90°，求得sin∠GFL=sin45°=$\frac{GL}{GF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即GL=$\sqrt{2}$GL，同理可得：GL=BG=$\sqrt{2}$AB，由于GF=$\sqrt{2}$BG=2AB，又AF=AG+GF=6，即可得到AB=$\frac{6}{3}$=2，由于∠KFH=∠KHF=45°，根据等腰三角形的性质得到FK=KH，根据正方形的性质得到HK=KE，于是得到FK=KE，即可得到结果；
（2）由（1）知AB=2，于是求得S₂的面积为BG²=8，由（1）求得DE=3，于是求得S₁的面积为3×3=9，即可得到结论．

解答 解：（1）∵△FGL和△ABG都为等腰直角三角形，
∴FL=LG，AB=AG，∠FLG=∠A=90°，
∴sin∠GFL=sin45°=$\frac{GL}{GF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即GL=$\sqrt{2}$GL，同理可得：GL=BG=$\sqrt{2}$AB，
∴GF=$\sqrt{2}$BG=2AB，又AF=AG+GF=6，
∴AB=$\frac{6}{3}$=2，
∵∠KFH=∠KHF=45°，
∴FK=KH，
∵HK=KE，
∴FK=KE，
∴K为EF的中点，
∴DE=3；

（2）由（1）知AB=2，
∴BG²=2²+2²=8，
∴S₂的面积为BG²=8，
由（1）求得DE=3，
∴S₁的边长为3，
∴S₁的面积为3×3=9，
∴S₁+S₂=8+9=17．

点评 本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质的性质，考查了学生的读图能力和计算能力，题目比较典型，难度适中．