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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AC平分∠BAD,AD⊥DC,垂足为D,OE⊥AC,垂足为E.

(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若OE=cm,AC=cm,求DC的长(结果保留根号).

【答案】
(1)

【解答】证明:连接OC,

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∵AC平分∠BAD,

∴∠DAC=∠OAC,

∴∠DAC=∠OCA,

∴AD∥OC,

∴∠ADC=∠OCF,

∵AD⊥DC,

∴∠ADC=90°,

∴∠OCF=90°,

∴OC⊥CD,

∵OC为半径,

∴CD是⊙O的切线.


(2)

∵OE⊥AC,

∴AE=AC=cm,

在Rt△AOE中,AO==4cm,

由1得∠OAC=∠CAD,∠ADC=∠AEO=90°,

∴△AOE∽△ACD,

∴DC=cm.


【解析】
【考点精析】掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本,需要知道切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.

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(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由.

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頻数分布表

组别

焦点话题

频数(人数)

A

医疗卫生

100

B

食品安全

m

C

教育住房

40

D

社会保障

80

E

生态环境

n

F

其他

60

请根据图表中提供的信息解答下列问题:
(1)填空:m= , n= . 扇形统计图中E组,F组所占的百分比分别为
(2)该市现有人口大约800万,请你估计其中关注B组话题的人数;
(3)若在这次接受调查的市民中,随机抽查一人,则此人关注A组话题的概率是多少?

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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动,点P从点A出发的同时点Q从点C出发,以1cm/s的速度向点B运动,当点P到达点C时,点Q也停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒.

(1)从运动开始,当t取何值时,PQ∥CD?
(2)从运动开始,当t取何值时,△PQC为直角三角形?

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【题目】已知购买1个足球和1个篮球共需130元,购买2个足球和1个篮球共需180元.
(1)求每个足球和每个篮球的售价;
(2)如果某校计划购买这两种球共54个,总费用不超过4000元,问最多可买多少个篮球?

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【题目】某校为了选拔学生参加“汉字听写大赛”,对九年级一班、二班各10名学生进行汉字听写测试.计分采用10分制(得分均取整数),成绩达到6分或6分以上为及格,得到9分为优秀,成绩如表1所示,并制作了成绩分析表(表2).
表1

一班

5

8

8

9

8

10

10

8

5

5

二班

10

6

6

9

10

4

5

7

10

8

表2

班级

平均数

中位数

众数

方差

及格率

优秀率

一班

7.6

8

a

3.82

70%

30%

二班

b

7.5

10

4.94

80%

40%


(1)在表2中,a= ,b=
(2)有人说二班的及格率、优秀率均高于一班,所以二班比一班好;但也有人认为一班成绩比二班好,请你给出坚持一班成绩好的两条理由;
(3)一班、二班获满分的中同学性别分别是1男1女、2男1女,现从这两班获满分的同学中各抽1名同学参加“汉字听写大赛”,用树状图或列表法求出恰好抽到1男1女两位同学的概率.

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