Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．

（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：当PQ∥CD时，四边形PDCB是平行四边形，

此时PD=QC，

∴12﹣2t=t，

∴t=4．

∴当t=4时，四边形PQDC是平行四边形．

（2）

过D点，DF⊥BC于F，

∴DF=AB=8．

FC=BC﹣AD=18﹣12=6，CD=10，

①当PQ⊥BC，

则BQ+CQ=18．即：2t+t=18，

∴t=6；

②当QP⊥PC，此时P一定在DC上，

CP1=10+12﹣2t=22﹣2t，CQ2=t，

易知，△CDF∽△CQ2P1，

∴，

解得：t=，

③情形：当PC⊥BC时，因∠DCB＜90°，此种情形不存在．

∴当t=6或时，△PQC是直角三角形．

【解析】（1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判断以PQDC为顶点的四边形是平行四边形．
（2）点P处可能为直角，点Q处也可能是直角，而后求解即可．
【考点精析】掌握勾股定理的逆定理和平行四边形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．