Question

16．如图，双曲线$y=\frac{k}{x}$（x＞0）经过点A（1，6）、点B（2，n），点P的坐标为（t，0），且-1≤t＜3，则△PAB的最大面积为6．

Answer 1

分析 根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，过B作BD⊥y轴，延长AB交x轴于C，连接AD并延长交x轴于P₁，根据待定系数法求得直线AB和直线AD的解析式，即可求得交点C和P的坐标，由S_△PAB=S_△PAC-S_△PBC=$\frac{1}{2}$（3-t）×6-$\frac{1}{2}$（3-t）×3=$\frac{3}{2}$（3-t）=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{2}$，根据一次函数的性质即可求得最大值．

解答 解：把A（1，6）代入反比例解析式得：k=6，
∴反比例解析式为y=$\frac{6}{x}$，
把B（2，n）代入反比例解析式得：n=3，即B（2，3），
过B作BD⊥y轴，延长AB交x轴于C，连接AD并延长交x轴于P₁，
由A（1，6），B（2，3），D（0，3），
∴直线AB为y=-3x+9，直线AD为y=3x+3，
令y=0，解得x=3和x=-1，
∴C（3，0），P₁（-1，0），
∵点P的坐标为（t，0），且-1≤t＜3，
∴PC=3-t，
∵S_△PAB=S_△PAC-S_△PBC=$\frac{1}{2}$（3-t）×6-$\frac{1}{2}$（3-t）×3=$\frac{3}{2}$（3-t）=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{2}$，
∴当t=-1时，S_△PAB的值最大，最大值=-$\frac{3}{2}$×（-1）+$\frac{9}{2}$=6．
故答案为6．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，三角形面积等，得出面积的一次函数是解题的关键．