Question

7．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=9，BC=6．求：tan∠ACD及AC的长．

Answer 1

分析 先证明△BCD∽△BAC，利用相似比得到6：（9+BD）=BD：6，解方程可得BD=3，再在Rt△BCD中利用勾股定理计算出CD=3$\sqrt{3}$，然后在Rt△ACD中，利用正切的定义求tan∠ACD的值，利用勾股打开计算AC的长．

解答 解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴BC：AB=BD：BC，即6：（9+BD）=BD：6，
∴BD=3，
在Rt△BCD中，CD=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{9}{3\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
AC=$\sqrt{{9}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义．