Question

6．如图，P为正方形ABCD边BC的中点，DE⊥AP于点E，F为AP上一点，AE=EF，∠CDF的平分线交AP的延长线于点G，连接CG，下列结论：①DE=2AE；②AG⊥CG；③△DEG为等腰直角三角形；④$\frac{CG}{AG}=\frac{1}{3}$．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由四边形ABCD是正方形，于是得到∠BAD=∠B=90°，AB=BC，根据余角的性质得到∠BAE=ADE，推出△ABP∽△ADE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{BP}=\frac{DE}{AE}$，由P为正方形ABCD边BC的中点，于是得到BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，求得DE=2AE；故①正确；通过△FDG≌△CDG，得到∠DFG=∠DCG，根据邻补角的定义得到∠AFD+∠DFG=180°，推出A，G，C，D四点共圆于是得到∠AGC=90°，AG⊥CG；故②正确；根据全等三角形的性质得到∠AGD=∠CGD=$\frac{1}{2}∠AGC=45°$，求出∠EDG=45°，得到△DEG为等腰直角三角形；故③正确；等量代换得到FG=EF=AE=$\frac{1}{3}$AG，根据全等三角形的性质得到CG=FG=$\frac{1}{3}$AG，于是得到$\frac{CG}{AG}=\frac{1}{3}$；故④正确．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠B=90°，AB=BC，
∵DE⊥AP于点E，
∴∠AED=90°，
∴∠BAE+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAE=ADE，
∴△ABP∽△ADE，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{DE}{AE}$，
∵P为正方形ABCD边BC的中点，
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{DE}{AE}$=2，
∴DE=2AE；故①正确；
∵AE=EF，
∴AD=DF，
∴∠DAE=∠DFE，
∵DG平分∠FDC，
∴∠FDG=∠CDG，
在△FDG与△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DC}\\{∠FDG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△FDG≌△CDG，
∴∠DFG=∠DCG，
∵∠AFD+∠DFG=180°，
∴∠DAF+∠DCG=180°，
∴A，G，C，D四点共圆，
∴∠ADC+∠AGC=180°，
∵∠ADC=90°，
∴∠AGC=90°，AG⊥CG；故②正确；
∵△FDG≌△CDG，
∴∠AGD=∠CGD=$\frac{1}{2}∠AGC=45°$，
∴∠EDG=45°，
∴△DEG为等腰直角三角形；故③正确；
∴EG=DE=2AE=2EF，
∴FG=EF=AE=$\frac{1}{3}$AG，
∵△FDG≌△CDG，
∴CG=FG=$\frac{1}{3}$AG，
∴$\frac{CG}{AG}=\frac{1}{3}$；故④正确．
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．