Question

18．如图，双曲线$y=\frac{2}{x}$（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴．将△ABC沿AC翻折后得△AB′C，B′点落在OA上，则
（1）△OCD的面积是1；
（2）四边形OABC的面积是2．

Answer 1

分析 （1）延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S_△OCD=$\frac{1}{2}$xy，
（2）根据S_△OCD=$\frac{1}{2}$xy，于是得到S_△OCB′=$\frac{1}{2}$xy，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于$\frac{1}{2}$ay，即可得出答案．

解答 解：（1）延长BC，交x轴于点D，
设点C（x，y），AB=a，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′，
再由翻折的性质得，BC=B′C，
∵双曲线$y=\frac{2}{x}$（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$xy=1；

（2）∵S_△OCD=$\frac{1}{2}$xy=1，
∴S_△OCB′=$\frac{1}{2}$xy=1，
由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=B′C=CD，
∴点A、B的纵坐标都是2y，
∵AB∥x轴，
∴点A（x-a，2y），
∴2y（x-a）=2，
∴xy-ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ay=$\frac{1}{2}$，
∴S_OABC=S_△OCB′+S_△AB'C+S_△ABC=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=2．
故答案为：1，2．

点评 本题考查了翻折的性质，反比例函数的性质，角平分线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．