Question

1．已知，△ABC中，AD是角平分线，点E在BC上，EF⊥AD交AD、AB于F、G．
（1）若∠ABC=2∠C，点E是BC的中点，判断BD与BG的数量关系，并证明；
（2）如BE=kCE，sinG=$\frac{3}{5}$，BG=2，AF=m，求EG的长度（用含k，m的式子来表示）

Answer 1

分析 （1）过B作BN∥AC交GK于N，在AC上截取AM=AB，连接DM，延长GE交AC于K，通过△ABD≌△AMD，根据全等三角形的性质得到BD=DM，∠AMD=∠ABD，根据三角形的外角的性质得到∠AMD=2∠C=∠MDC+∠C，等量代换得到BD=MC，通过△BGN≌△CEK，得到BN=CK，推出△AGF≌△AKF，根据全等三角形的性质得到∠G=∠AKF，由三角形的外角的性质得到∠AKF=∠C+∠KEC，∠BNG=∠NBE+∠BEN，根据等腰三角形的性质得到BG=BN，等量代换即可得到结论；
（2）延长GE交AC于K，过B作BN∥AC交GK于N，BH⊥GK于H，由垂直的定义得到∠BHG=∠AFG=90°，解直角三角形得到BH=$\frac{6}{5}$，GH=$\sqrt{B{G}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，AG=$\frac{5m}{3}$，GF=$\sqrt{A{G}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{4}{3}$m，根据全等三角形的性质得到GF=KF，求得KG=2FG=$\frac{8}{3}$m，由（1）证得GN=2GH=$\frac{16}{5}$，得到NK=GK-GN=$\frac{8}{3}$m-$\frac{16}{5}$，根据相似三角形的性质得$\frac{BE}{CE}=\frac{NE}{EK}=k$，求得NE=$\frac{k}{k+1}$NK=$\frac{k}{k+1}$•（$\frac{8}{3}m-\frac{16}{5}$），即可得到结论．

解答 解：（1）过B作BN∥AC交GK于N，在AC上截取AM=AB，连接DM，延长GE交AC于K，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠MAD，
在△ABD与△AMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AM}\\{∠BAD=∠MAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AMD，
∴BD=DM，∠AMD=∠ABD，
∵∠B=2∠C，
∴∠AMD=2∠C=∠MDC+∠C，
∴∠MDC=∠C，
∴MD=MC，
∴BD=MC，
∵BN∥AC，
∴∠C=∠EBN，
在△BNE与△CEK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBN=∠C}\\{BE=CE}\\{∠BEN=∠CEK}\end{array}\right.$，
∴△BGN≌△CEK，
∴BN=CK，
∵AF⊥GK，
∴∠AFG=∠AFK=90°，
在△AGF与△AKF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠KAF}\\{AF=AF}\\{∠AFG=∠AFK}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AKF，
∴∠G=∠AKF，
∵∠AKF=∠C+∠KEC，∠BNG=∠NBE+∠BEN，
∴∠BNG=∠AKE=∠G，
∴BG=BN，
∵AG=AK，AB=AM，
∴BG=MK，
∴BG=BN=CK=MK，
∴CM=2BG，
∴BD=2BG；

（2）延长GE交AC于K，过B作BN∥AC交GK于N，BH⊥GK于H，
∵AF⊥GE，
∴∠BHG=∠AFG=90°，
∵sinG=$\frac{3}{5}$，BG=2，AF=m，
∴BH=$\frac{6}{5}$，
∴GH=$\sqrt{B{G}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，AG=$\frac{5m}{3}$，GF=$\sqrt{A{G}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{4}{3}$m，
由（1）知△AGF≌△AKF，
∴GF=KF，
∴KG=2FG=$\frac{8}{3}$m，由（1）证得GN=2GH=$\frac{16}{5}$，
∴NK=GK-GN=$\frac{8}{3}$m-$\frac{16}{5}$，
∵BN∥AC，
∴△BNE∽△CEK，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{NE}{EK}=k$，
∴NE=$\frac{k}{k+1}$NK=$\frac{k}{k+1}$•（$\frac{8}{3}m-\frac{16}{5}$），
∴EG=GN+NK=$\frac{16}{5}$+$\frac{k}{k+1}$•（$\frac{8}{3}m-\frac{16}{5}$）=$\frac{40km+48}{15（k+1）}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．