Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2 =BE · DC ，DE:EC=3:1 ，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．

（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；

（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；

（3）如图，当∠BAC=90°，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．

Answer 1

【答案】（1）△ABE、△ADC，理由见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据相似三角形的判定方法，即可找出与△ACD相似的三角形；

（2）由相似三角形的性质，得，由DE=3CE，先求出AD的长度，然后计算得到；

（3）由等腰直角三角形的性质，得到∠DAG=∠ADF=45°，然后证明△ADE∽△DFA，得到，求出DF的长度，即可得到.

解：（1）与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：

∵AB2 =BE · DC ，

∴．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，，

∴△ABE∽△DCA．

∴∠AED=∠DAC．

∵∠AED=∠C+∠EAC，∠DAC=∠DAE+∠EAC，

∴∠DAE=∠C．

∴△ADE∽△CDA ．

（2）∵△ADE∽△CDA，DF平分∠ADC，

∴，

设CE=a，则DE=3CE=3a，CD=4a，

∴ ，解得（负值已舍）

∴；

（3）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45° ，

∴∠DAE=∠C=45°，

∵DG⊥AE，

∴∠DAG=∠ADF=45°，

∴AG=DG=，

∴，

∵∠AED=∠DAC ，

∴△ADE∽△DFA，

∴，

∴，

∴.