【题目】如图①,在四边形中,于点,,点为中点,为线段上的点,且.
(1)求证:平分;
(2)若,连接,当四边形为平行四边形时,求线段的长;
(3)若点为的中点,连接、(如图②),求证:.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)详见解析.
【解析】
(1)由知 ,由等腰三角形三线合一知AM⊥BC,从而根据∠MAB+∠ABC=∠EBC+∠ACB知∠MAB=∠EBC,再由△MBN为等腰直角三角形知∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°可得证;
(2)设BM=CM=MN=a,知DN=BC=2a,证△ABN≌△DBN得AN=DN=2a,Rt△ABM中利用勾股定理可得a的值,从而得出答案;
(3)F是AB的中点知MF=AF=BF及∠FMN=∠MAB=∠CBD,再由,即得△MFN∽△BDC,即可得证.
解:(1)如下图所示:
∵,
∴,
∵为的中点,
∴
在中,,
在中,,
∴,
又∵,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∴,,
∴,即平分;
(2)如下图所示:
设,
∵四边形是平行四边形,
∴,
在和中,
∵,
∴≌(),
∴,
在中,由可得,
解得:(负值舍去),
∴;
(3)∵是的中点,
∴在中,,
∴,
又∵,
∴,
∵,
∴,
∴∽.
∴.
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【题目】如图,直线y=x+3分别交 x轴、y轴于点A、C.点P是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点,PB⊥x轴于B,且S△ABP=16.
(1)求证:△AOC∽△ABP;
(2)求点P的坐标;
(3)设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上,且点Q在直线PB的右侧,作QD⊥x轴于D,当△BQD与△AOC相似时,求点Q的横坐标.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③m为任意实数,则a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2.其中正确的有( )
A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤
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【题目】在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D,其中正面分别画有四个不同的几何图形(如图),小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸一张.
(1)用树状图(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌可用A、B、C、D表示);
(2)求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的概率.
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【题目】如图,点、是函数上两点,点为一动点,作轴,轴,下列结论:①≌;②;③若,则平分;④若,则.其中正确的序号是__________(把你认为正确的都填上).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,点B的坐标为(1,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE最大.
①求点P的坐标和PE的最大值.
②在直线PD上是否存在点M,使点M在以AB为直径的圆上;若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】(1)如图1,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线交于点P,则四边形CODP的形状是 ;
(2)如图2,若题目中的矩形变为菱形,则四边形CODP的形状是 ;
(3)如图3,若题目中的矩形变为正方形,请判断四边形CODP的形状,并说明理由.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在边BC、DC上,AB2 =BE · DC ,DE:EC=3:1 ,F是边AC上的一点,DF与AE交于点G.
(1)找出图中与△ACD相似的三角形,并说明理由;
(2)当DF平分∠ADC时,求DG:DF的值;
(3)如图,当∠BAC=90°,且DF⊥AE时,求DG:DF的值.
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【题目】如图,把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案,连接交于点,将绕点逆时针旋转,点的运动轨迹交于点,若,有以下四个结论:①;②;③;④阴影部分的面积为.其中一定成立的是______.(把所有正确结论的序号填在横线上)
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