Question

【题目】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　）

A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】

由抛物线的开口方向、抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点判断①②，由顶点坐标确定函数最大值是a+b+c判断③，然后根据抛物线与轴交点的个数及对称轴判断④，由ax12+bx1＝ax22+bx2恒等变形得x1+x2＝，根据对称轴直线x＝＝1，可以判断⑤．

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线对称轴为直线x＝＝1，

∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①错误；

∵抛物线对称轴为直线x＝1，

∴函数的最大值为a+b+c，

∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③错误；

∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧

∴当x＝﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以④错误；

∵ax12+bx1＝ax22+bx2，

∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，

∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，

∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，

而x1≠x2，

∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝，

∵b＝﹣2a，

∴x1+x2＝2，所以⑤正确．

综上所述，正确的有②⑤．

故选：C．