Question

如图，已知抛物线y=-x²+4x+m与x轴交于A，B两点，AB=2，与y轴交于C．
（1）求抛物线解析式；
（2）求P为对称轴上一点，要使PA+PC最小，求点P的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,轴对称-最短路线问题

专题：计算题

分析：（1）先根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=2，则可利用抛物线的对称性确定A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0），于是可利用交点式写出抛物线解析式；
（2）连结BC，交直线x=2于点P，则PA=PB，PA+PC=PB+PC=BC，利用两点之间线段最短确定此时PA+PC最小，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后求出自变量为2时的函数值即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）抛物线的对称轴为直线x=-

4

2×(-1)

=2，
∵点A与点B是抛物线的对称点，
而AB=2，
∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0），
∴抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3；
（2）连结BC，交直线x=2于点P，则PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC=BC，
∴此时PA+PC最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把C（0，-3），B（3，0）代入得

b=-3 3k+b=0

，解得

k=1 b=-3

，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
当x=2时，y=x-3=2-3=-1，
∴P点坐标为（2，-1）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．