Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，AB=DC=4，点P在边BC上，点E在边CD上，∠APE=60°，联结AE．
（1）求证：AB•CE=BP•PC；
（2）△APE能否与△ABP相似？若能够，求此时点P的位置；否则，请简要说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）作AF⊥BC，可证△ABP∽△PCE，即可解题；
（2）当P是BC中点时，△ABP∽△APE，证明如下．

解答：解：作AF⊥BC交BC于点F，

（1）∵AD=3，BC=7，
∴BF=

1

2

（BC-AD），
∵AB=4，∴∠B=60°，
∵∠BAP+∠BPA=120°，∠BPA+∠CPE，
∴∠BAP=∠CPE，
∴△ABP∽△PCE，
′∴

AB

PC

=

BP

CE

，即AB•CE=BP•PC；
（2）结论：当P是BC中点时，△ABP∽△APE，
证明：∵AF⊥BC，AB=CD．
则BF=

BC-AD

2

=2=

AB

2

，∠B=60°=∠C．
若延长BA和CD，则△MBC为等边三角形．
∵∠APE=∠ABP=60度．
∴若△APE与△ABP相似，则必须∠PAE=∠BAP或∠PEA=∠BAP．
①当∠PAE=∠BAP时，点P到AB，AE的距离相等．（角平分线的性质）
∵∠BAP=180°-∠B-∠BPA=120°-∠BPA；
∠CPE=180°-∠APE-∠BPA=120°-∠BPA．
∴∠CPE=∠BAP=∠PAE；
又∵∠C=∠APE=60°，则∠PEC=∠PEA．
∴点P到CE，AE的距离相等．（角平分线的性质）
∴点P到CE，AB的距离相等．（等量代换）
∴点P在∠BMC的平分线上，即此时P为BC的中点，BP=

BC

2

=3.5；
②当∠PEA=∠BAP时，又∠CPE=∠BAP（已证）．
∴∠PEA=∠CPE．（等量代换）
∴AE∥BC，即此时点E与点D重合，得CE=4．
∵∠CPE=∠BAP，∠C=∠B=60°．
∴△PCE∽△ABP，
∴

CE

BP

=

PC

AB

．
设BP=X，则PC=7-X．
∴

4

X

=

7-X

4

，
X²-7X+16=0，方程无解，即这种情况并不存在．
综上所述，△APE与△ABP能相似，此时P为BC的中点．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形的对应边比值相等的性质．