Question

4．如图，已知直线y=-$\frac{1}{2}$x+1分别交x轴、y轴于A、B两点，点M在x轴上，且满足
∠OMB+∠BAO=45°，则点M的坐标为（-3，0）；（3，0）．

Answer 1

分析 由直线y=-$\frac{1}{2}$x+1分别求得x轴、y轴与A、B两点的坐标，得到AO，BO的长度，根据∠OMB+∠BAO=45°，画出图形，找到M点的位置，由勾股定理表示出BM，AM的长度，再根据相似三角形的性质，列出方程，求出结果．

解答 解：如图在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，令y=0，得x=2，令x=0，y=1，
∴A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
过点B作BC⊥AB，则∠ABC=∠CBE=90°，作∠EBC的平分线BM交x轴于M，∠ABC的平分线BM′交x轴于M′，
∴∠EBM=45°，即∠OMB+∠BAO=45°，
过点A作AD⊥MB交MB的延长线于点D，
∵∠ABD=∠DBA=45°，
∴OA=2，OB=1，
∴AB=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
设OM=m，则BM=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
∵∠BMC=∠AMD，∠BOM=∠BDA，
∴△BCM∽△AMD，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AD}{OB}$，即 $\frac{2+m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{1}$，
解得：m=3  m=$-\frac{2}{3}$（舍去），
点M关于y轴的对称点M′（3，0），也是满足条件的点．
M（-3，0），M′（3，O）．
故答案（-3，0），（3，O）．

点评 本题主要考查了利用函数解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，此题的关键是画图找到M点的位置．