Question

9．（1）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点E放在菱形ABCD的边BC上，其中三角板60°角的一边过点A，另一边与CD相交于点F．
请判断线段AE、EF的数量关系，并说明理由；
（2）若将菱形换成正方形，把三角板的直角顶点E放在BC上，其中一条直角边经过点A，另一直角边与正方形ABCD的外角∠DCG的平分线相交于点F，
①把三角板的直角顶点E放在线段BC上（如图2），E是线段BC的中点，判断线段AE、EF的数量关系（直接写出结论）．
②把三角板的直角顶点E移动到线段BC的延长线上（如图3），①中的结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在线段AB上截取BH=BE，连接EH，证明出AH=EC，∠ECF=∠AHE和∠FEC=∠BAE，利用ASA证明△AEH≌△ECF，即可得到AE=EF；
（2）取AB的中点M，点E是边BC的中点，根据条件利用ASA证明△AME≌△ECF，即可得到AE=EF；
（3）在线段BA的延长线上截取BH=BE，连接EH，依然利用ASA证明△AEH≌△ECF，即可得到AE=EF．

解答 解：（1）AE=EF，
理由：如图1．在线段AB上截取BH=BE，连接EH
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴AH=EC，
∵BH=BE，∠ABC=60°，
∴△BEH为等边三角形，
∴∠AHE=120°，
∵AB∥CD，∠ABC=60°，
∴∠ECF=120°，
∴∠ECF=∠AHE，
∵∠AEF+∠FEC=∠BAE+∠ABC，∠AEF=∠ABC=60°，
∴∠FEC=∠BAE，
在△AEH和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠ECF}\\{AH=EC}\\{∠BAE=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；

（2）①AE=EF，
如图2，取AB的中点M，连接ME，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCG=90°，
∵点E是边BC的中点，M是AB的中点，
∴AM=EC=BE，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=∠FCG=45°，
∴∠ECF=180°-∠FCG=135°，
∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
又∵∠AEB+∠MAE=90°，
∴∠MAE=∠CEF，
在△AME和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=CE}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；

②成立．
理由：如图3，在线段BA的延长线上截取BH=BE，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴AH=EC，
∵BH=BE，∠ABC=90°，
∴△BEH为等腰直角三角形，
∴∠AHE=45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠ECF=45°，
∴∠ECF=∠AHE，
∵∠AEF+∠FEC=∠BAE+∠ABC，∠AEF=∠ABC=90°，
∴∠FEC=∠BAE，
在△AEH和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠ECF}\\{AH=EC}\\{∠BAE=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

点评 此题主要考查了四边形综合题的知识，涉及到了正方形的性质、角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识，正确作出辅助线在BA延长线上截取AH=CE，构造三角形全等是解题关键，此题有一定的难度．