Question

12．如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P．
（1）试比较∠A与∠BPC的大小．
（2）当∠A=α时，求∠BPC的度数．

Answer 1

分析 （1）连接AP并延长至D，根据三角形的外角性质，得出∠BPD+∠CPD＞∠BAP+∠CAP，即可得到∠A与∠BPC的大小关系；
（2）先根据∠A=α，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，求得∠PBC+∠PCB的度数，最后根据三角形内角和定理，求得∠BPC的度数．

解答 解：（1）连接AP并延长至D，
∵∠BPD是△ABP的外角，
∴∠BPD＞∠BAP，
同理可得，∠CPD＞∠CAP，
∴∠BPD+∠CPD＞∠BAP+∠CAP，
∴∠BPC＞∠BAC；

（2）∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×（180°-α），
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-$\frac{1}{2}$×（180°-α）=90°+$\frac{1}{2}$α．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．