Question

7．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为E、F．
（1）若AB=6，计算：AD=3$\sqrt{3}$，EF=4.5；（直接填结果）
（2）求证：DE=DF．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的想轴对称AB=BC=AC=6，∠B=∠C=∠BAC=60°，由三线合一性质得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，由勾股定理求出AD，再证出AE=AF=4.5，得出△AEF是等边三角形，即可得出EF的长；
（2）由角平分线的性质即可得出结论．

解答 （1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=∠BAC=60°，
∵D是BC边的中点，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=90°，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$；
又∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=1.5，
同理：CF=1.5，
∴BE=CF，
∴AE=AF=4.5，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=4.5；
故答案为：3$\sqrt{3}$，4.5；
（2）证明：由（1）得：AD平分∠BAC，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．

点评 本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，特别是等边三角形三线合一性质的运用．