【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=1,点D是斜边上一点,且AD=4BD.
(1)求tan∠BCD的值;
(2)过点B的⊙O与边AC相切,切点为AC的中点E,⊙O与直线BC的另一个交点为F.
(ⅰ)求⊙O的半径;
(ⅱ) 连接AF,试探究AF与CD的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)tan∠BCD=;(2)(ⅰ)
;(ⅱ) AF与CD的位置关系是AF⊥CD,理由见解析.
【解析】
(1)作DM⊥BC,得到△DMB∽△ACB,利用相似三角形对应边成比例结合AD=4BD,AC=3,BC=1,即可求得tan∠DCM的值;
(2)(ⅰ)连接OE,OF,作OH⊥BE,证得OHCE为矩形,设⊙O的半径为,得到OF=OE=CH=
,OH=CE=
,HF=BH=CH-BC=
,在Rt△OHF中,利用勾股定理即可得解;
(ⅱ)延长CD交AF于点K,由(ⅰ)知CF,求得tan∠CAF
,由于tan∠BCD=
,得到∠CAF=∠BCD,从而得到AF与CD的位置关系是AF⊥CD.
(1)如图,过D作DM⊥BC,垂足M.
∵∠ACB=90°,
∴DM∥AC.
∴△DMB∽△ACB.
∵AD=4BD,AC=3,BC=1,
∴,即
,
∴,
,则
,
∴在Rt△DMC中,tan∠DCM=,
(2)(ⅰ) 如图,连接OE,OF,
∵⊙O与AC相切于AC中点E,
∴OE⊥AC.
作OH⊥BE,垂足为H,
∵∠ACB=90°,
∴OHCE为矩形.
设⊙O的半径为,则OF=OE=CH=
.
OH=CE=AC=
,HF=BH=CH-BC=
.
∴在Rt△OHF中,,
∴,
解得:r=;
(2)(ⅱ) AF与CD的位置关系是AF⊥CD,
理由如下:
如图,延长CD交AF于点K,
由(ⅰ)知,CF=BC+BF=1+2,
在Rt△ACF中,∠ACB=90°,
∴tan∠CAF=,
∵tan∠BCD=,
∴∠CAF=∠BCD,即∠CAF=∠FCK,
∵∠CAF+∠F=90°,
∴∠FCK+∠F=90°,
即AF⊥CD.
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【题目】我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动,为了解学生对四种项目的喜欢情况,随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目(每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种),并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图表:
学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目 | 学生数(名) | 百分比 |
丢沙包 | 20 | 10% |
打篮球 | 60 | p% |
跳大绳 | n | 40% |
踢毽球 | 40 | 20% |
根据图表中提供的信息,解答下列问题:
(1)m= ,n= ,p= ;
(2)请根据以上信息直接补全条形统计图;
(3)根据抽样调查结果,请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢跳大绳.
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【题目】已知抛物线L:y=mx2+nx-6经过点(-2,2),与x轴相交于A(-3,0)和B两点,并与y轴相交于点C.抛物线L′与L关于坐标原点对称,点A,B在L′上的对应点分别为A′和B′.
(1)求抛物线L的函数表达式.
(2)在抛物线L′上是否存在点P,使得△PA′A的面积等于△CB′B的面积?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,半径OA=4.将扇形AOB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在弧AB上点C处,折痕交OA于点D,则图中阴影部分的面积为_______ .
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【题目】如图,点A1在直线l1:y=x上,过点A1作x轴的平行线交直线l2:y=
x于点B1,
过点B1作l2的垂线交l1于点A2,过点A2作x轴的平行线交直线l2于点B2,过点B2作l2的垂线交l1于点A3,过点A3作x轴的平行线交直线l2于点B3,……,过点B1,B2,B3,……,分别作l1的平行线交A2B2于点C1,交A3B3于点C2,交A4B4于点C3,……,按此规律继续下去,若OA1=1,则点的坐标为_______________.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,连接AD,过点A作直线MN,使∠MAC=∠ADC.
(1)求证:直线MN是⊙O的切线.
(2)若sin∠ADC=,AB=8,AE=3,求DE的长.
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【题目】如图1,抛物线过点A(-1,0),B(4,0),与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴正半轴上存在点E,使得△BCE是等腰三角形,请求出点E的坐标;
(3)如图2,点D是直线BC上方抛物线上的一个动点.过点D作DM⊥BC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍?若存在,请求出点D的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知,如图,二次函数(其中
,
是常数,
为正整数)
(1)若经过点
求
的值.
(2)当,若
与
轴有公共点时且公共点的横坐标为非零的整数,确定
的值;
(3)在(2)的条件下将的图象向下平移
个单位,得到函数图象
,求
的解析式;
(4)在(3)的条件下,将的图象在
轴下方的部分沿
轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象
,请结合新的图象解答问题,若直线
与
有两个公共点时,请直接写出
的取值范围.
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