Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1，点D是斜边上一点，且AD=4BD．

(1)求tan∠BCD的值；

(2)过点B的⊙O与边AC相切，切点为AC的中点E，⊙O与直线BC的另一个交点为F．

(ⅰ)求⊙O的半径；

(ⅱ) 连接AF，试探究AF与CD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)tan∠BCD=；(2)(ⅰ)；(ⅱ) AF与CD的位置关系是AF⊥CD，理由见解析．

【解析】

(1)作DM⊥BC，得到△DMB∽△ACB，利用相似三角形对应边成比例结合AD=4BD，AC=3，BC=1，即可求得tan∠DCM的值；

(2)(ⅰ)连接OE，OF，作OH⊥BE，证得OHCE为矩形，设⊙O的半径为，得到OF=OE=CH=，OH=CE=，HF=BH=CH-BC=，在Rt△OHF中，利用勾股定理即可得解；

(ⅱ)延长CD交AF于点K，由(ⅰ)知CF，求得tan∠CAF，由于tan∠BCD=，得到∠CAF=∠BCD，从而得到AF与CD的位置关系是AF⊥CD．

(1)如图，过D作DM⊥BC，垂足M．

∵∠ACB=90°，

∴DM∥AC．

∴△DMB∽△ACB．

∵AD=4BD，AC=3，BC=1，

∴，即，

∴，，则，

∴在Rt△DMC中，tan∠DCM=，

(2)(ⅰ) 如图，连接OE，OF，

∵⊙O与AC相切于AC中点E，

∴OE⊥AC．

作OH⊥BE，垂足为H，

∵∠ACB=90°，

∴OHCE为矩形．

设⊙O的半径为，则OF=OE=CH=．

OH=CE=AC=，HF=BH=CH-BC=．

∴在Rt△OHF中，，

∴，

解得：r=；

(2)(ⅱ) AF与CD的位置关系是AF⊥CD，

理由如下：

如图，延长CD交AF于点K，

由(ⅰ)知，CF=BC＋BF=1+2，

在Rt△ACF中，∠ACB=90°，

∴tan∠CAF=，

∵tan∠BCD=，

∴∠CAF=∠BCD，即∠CAF=∠FCK，

∵∠CAF+∠F=90°，

∴∠FCK+∠F=90°，

即AF⊥CD．