Question

【题目】如图1，抛物线过点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴正半轴上存在点E，使得△BCE是等腰三角形，请求出点E的坐标；

（3）如图2，点D是直线BC上方抛物线上的一个动点．过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，2或

【解析】

（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，结合点B的坐标可得出BC的长，设点E的坐标为（m，0），分BE=BC及CE=BE两种情况考虑：①当BE=BC时，由BE=2结合点B的坐标可得出点E的坐标；②当CE=BE时，在Rt△OCE中利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点E的坐标；
（3）分∠DCM=2∠ABC及∠CDM=2∠ABC两种情况考虑：①当∠DCM=2∠ABC时，取点F（0，-2），连接BF，则CD∥BF，由点B，F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF，CD的解析式，联立直线CD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；②当∠CDM=2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，利用待定系数法及垂直的两直线一次项系数乘积为-1可求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D的横坐标．综上，此题得解．

解：（1）． ∵抛物线过点,，

∴

解得

∴二次函数的表达式为：

（2）抛物线,

当时，； 当时，；

∴,,

∴,

①当时，如图1，点是线段的中垂线与轴的交点，

设，则，在RT△OCE中，

，解得,

∴

②当时，

∴

（3）分两种情况考虑：

①当∠DCM=2∠ABC时，取点F（0，-2），连接BF，如图4所示．
∵OC=OF，OB⊥CF，
∴∠ABC=∠ABF，
∴∠CBF=2∠ABC．
∵∠DCB=2∠ABC，
∴∠DCB=∠CBF，
∴CD∥BF．
∵点B（4，0），F（0，-2），
∴直线BF的解析式为y=x-2，
∴直线CD的解析式为y=x+2．
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组，得： ，
解得： （舍去）， ，
∴点D的坐标为（2，3）；
②当∠CDM=2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图5所示．

设直线CN的解析式为y=kx+c（k≠0），
∵直线BF的解析式为y=x-2，CN⊥BF，
∴k=-2．
又∵点C（0，2）在直线CN上，
∴直线CN的解析式为y=-2x+2．
连接直线BF及直线CN成方程组，得：，
解得：，
∴点N的坐标为（）．
∵点B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y=-x+2．
∵NP⊥BC，且点N（），
∴直线NP的解析式为y=2x-．
联立直线BC及直线NP成方程组，得：，
解得： ，
∴点Q的坐标为（）．
∵点N（），点N，P关于BC对称，
∴点P的坐标为（）．
∵点C（0，2），P（），
∴直线CP的解析式为y=x+2．
将y=x+2代入y=-x+2整理，得：11x2-29x=0，
解得：x1=0（舍去），x2=，
∴点D的横坐标为．
综上所述：存在点D，使得△CDM的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．