Question

【题目】已知抛物线L：y＝mx2+nx-6经过点（-2，2），与x轴相交于A（-3，0）和B两点，并与y轴相交于点C．抛物线L′与L关于坐标原点对称，点A，B在L′上的对应点分别为A′和B′．

（1）求抛物线L的函数表达式．

（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PA′A的面积等于△CB′B的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2x2－8x－6；（2）存在，点P的坐标为（2，－2）或（2－，2）或（2＋，2）

【解析】

（1）利用待定系数法确定函数关系式．

（2）由二次函数图象上点的坐标特征和关于原点对称的点的坐标的性质求得A'（3，0），B'（1，0），则AA'=6，BB'=2，OC=6，设L'上的点P在L上的对应点为P'，P'的纵坐标为n，由对称性，可得 S△PA'A=S△P'A'A要使 S△P'A'A=S△CB'B，由此列出关于n的方程，通过解方程求得n的值．易得P'的坐标为（－2，2）或（－2＋，－2）或（－2－，－2），再一次利用由对称性，可得P的坐标．

（1）解：将（-2，2），（-3，0）代入y＝mx2+nx-6，得

，解得，故抛物线L的函数表达式为y＝－2x2－8x－6．

（2）解：存在．理由如下：

在抛物线L中，令x＝0，则y＝－6，

∴C（0，－6）．

令y＝0，则－2x2－8x－6＝0，解得x＝－1或x＝－3，

∴A（－3，0），B（-1，0）．

∵抛物线L′与L关于坐标原点对称，

∴A′（3，0），B′（1，0），

∴AA′＝6，BB′＝2，OC＝6．

设抛物线L′上的点P在抛物线L上的对应点为P′，点P′的纵坐标为s，

由对称性，可得S△PA′A＝S△P′A′A．

要使S△P′A′A＝S△CB′B，则AA′·|s|＝B′B·OC，

∴|s|＝2，即s＝±2．

令y＝2，则－2x2－8x－6＝2，解得x＝－2；

令y＝－2，则－2x2－8x－6＝－2，解得x＝－2＋或x＝－2－．

∴点P′的坐标为（－2，2）或（－2＋，－2）或（－2－，－2），

由对称性可得点P的坐标为（2，－2）或（2－，2）或（2＋，2）．