Question

【题目】如图，抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，﹣1），点B（9，﹣10），AC∥x轴，点P是直线AC上方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；

（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）或．

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，可得点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，根据待定系数法，可得的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得点坐标，根据平行于轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据相似三角形的判定，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．

解：（1）将，代入函数解析式，得

，

解得，

抛物线的解析式；

（2）轴，，

．

解得，．

点的坐标为．

点，，

直线的解析式为．

设点，

．

．

，，

．

，

当时，四边形的面积的最大值是．

此时点，．

（3），

．

，．

．

．

同理可得．

．

分两种情况：如图，

①当时，．

，，，

．

解得．

．

②当时，．即．

解得．

．

综合①②得，存在这样的点，其坐标是或．