【题目】如图,抛物线y=+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,﹣1),点B(9,﹣10),AC∥x轴,点P是直线AC上方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB,AC分别交于点E,F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;
(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
,
;(3)
或
.
【解析】
(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等,可得
点的纵坐标,根据自变量与函数值的对应关系,可得
点坐标,根据待定系数法,可得
的解析式,根据直线上的点满足函数解析式,可得
点坐标,根据平行于
轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得
的长,根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;
(3)根据等腰直角三角形的性质,可得,根据相似三角形的判定,可得关于
的方程,根据解方程,可得答案.
解:(1)将,
代入函数解析式,得
,
解得,
抛物线的解析式;
(2)轴,
,
.
解得,
.
点
的坐标为
.
点
,
,
直线
的解析式为
.
设点,
.
.
,
,
.
,
当
时,四边形
的面积的最大值是
.
此时点,
.
(3),
.
,
.
.
.
同理可得.
.
分两种情况:如图,
①当时,
.
,
,
,
.
解得.
.
②当时,
.即
.
解得.
.
综合①②得,存在这样的点,其坐标是
或
.
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【题目】目前,我国的空气质量得到了大幅度的提高.现随机调查了某城市1个月的空气质量情况,并将监测的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息,解答下面的问题:
(1)本次调查中,一共调查的天数为_______天;扇形图中,表示“轻度污染”的扇形的圆心角为______度;
(2)将条形图补充完整;
(3)估计该城市一年(以365天计算)中,空气质量未达到优的天数.
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【题目】如图所示,平面直角坐标的原点是等边三角形的中心,A(0,1),把△ABC绕点O顺时针旋转,每秒旋转60°,则第2017秒时,点A的坐标为( )
A. (0,1) B. (﹣,﹣
) C. (
,
) D. (
,﹣
)
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【题目】我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动,为了解学生对四种项目的喜欢情况,随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目(每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种),并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图表:
学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目 | 学生数(名) | 百分比 |
丢沙包 | 20 | 10% |
打篮球 | 60 | p% |
跳大绳 | n | 40% |
踢毽球 | 40 | 20% |
根据图表中提供的信息,解答下列问题:
(1)m= ,n= ,p= ;
(2)请根据以上信息直接补全条形统计图;
(3)根据抽样调查结果,请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢跳大绳.
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【题目】为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数,命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测,将考试成绩分布情况进行处理分析,制成如图表(成绩得分均为整数):
根据图表中提供的信息解答下列问题:
组别 | 成绩分组 | 频数 |
A | 47.5~59.5 | 2 |
B | 59.5~71.5 | 4 |
C | 71.5~83.5 | a |
D | 83.5~95.5 | 10 |
E | 95.5~107.5 | b |
F | 107.5~120 | 6 |
(1)频数分布表中的a= ,b= ;扇形统计图中的m= ,n= ;
(2)已知全区八年级共有200个班(平均每班40人),用这份试卷检测,108分及以上为优秀,预计优秀的人数约为 人,72分及以上为及格,预计及格的人数约为 人;
(3)补充完整频数分布直方图.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y的正半轴上,点B的坐标是(5,3),抛物线经过A、C两点,与x轴的另一个交点是点D,连接BD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是抛物线对称轴上的一点,以M、B、D为顶点的三角形的面积是6,求点M的坐标;
(3)点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动,当点P到达点B时,P、Q同时停止运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?请直接写出所有符合条件的值.
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【题目】在新冠疫情防控期间,某医疗器械商业集团新进了40台A型电子体温测量仪,60台B型电子体温测量仪,计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售,其中70台给甲连锁店,30台给乙连锁店.两个连锁店销售这两种测量仪每台的利润(元)如下表:
A型 | B型 | |
甲连锁店 | 200 | 170 |
乙连锁店 | 160 | 150 |
设集团调配给甲连锁店台A型测量仪,集团卖出这100台测量仪的总利润为
(元).
(1)求关于
的函数关系式,并求出
的取值范围:
(2)为了促销,集团决定仅对甲连锁店的A型测量仪每台让利元销售,其他的销售利润不变,并且让利后每台A型测量仪的利润仍然高于甲连锁店销售的每台B型测量仪的利润,问该集团应该如何设计调配方案,使总利润达到最大?
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【题目】已知抛物线L:y=mx2+nx-6经过点(-2,2),与x轴相交于A(-3,0)和B两点,并与y轴相交于点C.抛物线L′与L关于坐标原点对称,点A,B在L′上的对应点分别为A′和B′.
(1)求抛物线L的函数表达式.
(2)在抛物线L′上是否存在点P,使得△PA′A的面积等于△CB′B的面积?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,连接AD,过点A作直线MN,使∠MAC=∠ADC.
(1)求证:直线MN是⊙O的切线.
(2)若sin∠ADC=,AB=8,AE=3,求DE的长.
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