Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；

（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．

Answer 1

【答案】（1）

（2） M （3，）或（3，）

（3）当t=或t=或t=时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．

【解析】

（1）求出点A、C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）如答图1所示，关键是求出MG的长度，利用面积公式解决；注意，符合条件的点M有2个，不要漏解．

（3）△DPQ为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论：

①若PD=PQ，如答图2所示；②若PD=DQ，如答图3所示；③若PQ=DQ，如答图4所示．

解：（1）∵矩形ABCD，B（5，3），∴A（5，0），C（0，3）．

∵点A（5，0），C（0，3）在抛物线上，

∴，

解得：．

∴抛物线的解析式为：．

（2）∵，

∴抛物线的对称轴为直线x=3．

如答图1所示，设对称轴与BD交于点G，与x轴交于点H，则H（3，0）．

令y=0，即，

解得x=1或x=5．

∴D（1，0）．

∴DH=2，AH=2，AD=4．

∵，

∴GH=DHtan∠ADB=2×=．

∴G（3，）．

∵S△MBD=6，即S△MDG+S△MBG=6，

∴MGDH+MGAH=6，

即：MG×2+MG×2=6．

解得：MG=3．

∴点M的坐标为（3，）或（3，）．

（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，则BD=5，

∴sinB=，cosB=．

以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则：

①若PD=PQ，如答图2所示，

此时有PD=PQ=BQ=t，过点Q作QE⊥BD于点E，

则BE=PE，BE=BQcosB=t，QE=BQsinB=t，

∴DE=t+t=t．

由勾股定理得：DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2，

即（t）2+（t）2=42+（3﹣t）2，整理得：11t2+6t﹣25=0，

解得：t=或t=﹣5（舍去）．

∴t=．

②若PD=DQ，如答图3所示，

此时PD=t，DQ=AB+AD﹣t=7﹣t，

∴t=7﹣t．

∴t=．

③若PQ=DQ，如答图4所示，

∵PD=t，

∴BP=5﹣t．

∵DQ=7﹣t，

∴PQ=7﹣t，AQ=4﹣（7﹣t）=t﹣3．

过点P作PF⊥AB于点F，

则PF=PBsinB=（5﹣t）×=4﹣t，BF=PBcosB=（5﹣t）×=3﹣t．

∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣t）=t．

过点P作PE⊥AD于点E，则PEAF为矩形，

∴PE=AF=t，AE=PF=4﹣t．

∴EQ=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣t）=t﹣7．

在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ2+PE2=PQ2，即：（t﹣7）2+（t）2=（7﹣t）2，

整理得：13t2﹣56t=0，解得：t=0（舍去）或t=．

∴t=．

综上所述，当t=或t=或t=时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．