Question

15．x₁，x₂是方程2x²-5x-1=0的两根，求下列代数式的值：
（1）x₁²+x₂²-3x₂x₂；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（3）|x₁-x₂|

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，再利用完全平方公式变形得到x₁²+x₂²-3x₂x₂=（x₁+x₂）²-5x₁x₂；$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，然后分别利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，
（1）x₁²+x₂²-3x₂x₂=（x₁+x₂）²-5x₁x₂=（$\frac{5}{2}$）²-5×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{35}{4}$；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（\frac{5}{2}）^{2}-2×（-\frac{1}{2}）}{-\frac{1}{2}}$=-$\frac{29}{2}$；
（3）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{\sqrt{33}}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．