Question

4．为了求方程（x²+1）²-4（x²+1）-5=0的解，我们可以先将（x²+1）作为整体．
如果设x²+1=y，则原方程可化为y²-4y-5=0，用配方法解方程，得（y-2）²=9．
解得y₁=-1，y₂=5．
∴当x²+1=-1时，x²=-2，该方程无实数解；
当x²+1=5时，x²=4，∴x=±2．
∴原方程的解为x₁=2，x₂=-2．
请你根据上例，解决下面的问题：
已知（a²+b²）²+2（a²+b²）-3=0，求a²+b²的值．

Answer 1

分析 先设a²+b²=x，则方程可变形为x²+2x-3=0，解方程即可求得x即a²+b²值．

解答 解：设a²+b²=x，则原方程可化为：x²+2x-3=0，即（x+3）（x-1）=0，
∴x=-3或x=1．
∵a²+b²≥0，
∴a²+b²=1．

点评 本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．