Question

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=50，AD=36，CD=27．点E从C出发以每秒5个单位长度的速度向B运动，点F从A出发，以每秒4个单位长度的速度向D运动．两点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点F作FG⊥BC，垂足为G，连结AC交FG于P，连结EP．
（1）点E、F中，哪个点最先到达终点？
（2）求△PEC的面积S与运动时间t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．当t为何值时，S的值最大；
（3）当△CEP为锐角三角形时，求运动时间t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求得点E和点F到达终点的时间，进行比较即可；
（2）根据△APF∽△ACD，利用相似三角形的对应边的比相等，利用t表示出PF和PG的长，然后利用三角形的面积公式得到函数解析式；
（3）求得当∠CEP=90°时t的值，当∠CPE=90°时，由△GEP∽△GPS求得t的值，即可确定t的范围．

解答 解：（1）点E到达终点需要的时间是：$\frac{50}{5}$=10（秒），
点F到终点需$\frac{36}{4}$=9（秒），
则F最先到达终点；
（2）由题意得：AF=4t，CE=5t，
由△APF∽△ACD，
则$\frac{AF}{AD}$=$\frac{PF}{CD}$，得$\frac{4t}{36}$=$\frac{PF}{27}$，
∴PF=3t，PG=27-3t，
S=$\frac{1}{2}$CE•PG=$\frac{1}{2}$×5t•（27-3t）=-$\frac{15}{2}$t²+$\frac{135}{2}$t，自变量t的取值范围是：0≤t≤9，当t=4.5时，S的值最大；
（3）当∠CEP=90°时，5t+4t=36，解得：t=4，
当∠CPE=90°时，EG=9t-36，CG=36-4t，
由△GEP∽△GPS，得$\frac{GE}{PG}$=$\frac{PG}{CG}$，得方程（36t-4t）（9t-36）=（27-3t）²，
解得：t=5或9（舍去）．
则运动时间t的取值范围是4＜t＜5．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，用t正确表示出PF和PG的值是本题的关键．