Question

20．如图，AB，AC为⊙O的弦，AB=AC，连接AO．
（1）如图1，求证：∠OAC=∠OAB；
（2）如图2，过点B作AC的垂线交⊙O于点D，连接CD，设AO的延长线交BD于点E，求证：BE=CD；
（3）在（2）的条件下，如图3，点F，G分别在CD，BD的延长线上，连接AG，AE，若CF•AG=3，∠GAB=45°+$\frac{1}{2}$∠GAE，∠B=50°，求△ACF的面积．

Answer 1

分析 （1）作直径AD，根据弦相等，弧相等得：$\widehat{AC}=\widehat{AB}$，所以$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，则∠OAC=∠OAB；
（2）作辅助线，根据角平分线的性质得PE=EH，证明Rt△APE≌Rt△AHE，得AP=AH，所以PC=BH，再证明△DPC≌△EHB，可得结论；
（3）如图3，作辅助线，构建△ACF的高线AH，设∠GAE=α，根据已知等式得α+20°=45°+$\frac{1}{2}$，求出α=50°，得∠GAC=30°，根据三角函数表示AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，代入△ACF面积公式进行计算即可．

解答 证明：（1）如图1，延长AO交⊙O于D，
∵AC=AB，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AB}$，
∵AD是⊙O的直径，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠OAC=∠OAB；

（2）如图2，过E作EH⊥AB于H，
∵BD⊥AC，∠OAC=∠OAB，
∴PE=EH，
∵AE=AE，
∴Rt△APE≌Rt△AHE（HL），
∴AP=AH，
∵AC=AB，
∴AC-AP=AB-AH，
即PC=BH，
∵∠C=∠B，∠DPC=∠EHB=90°，
∴△DPC≌△EHB，
∴BE=CD；

（3）如图3，过A作AH⊥CF，设BG与AC交于点P，
∵∠B=50°，BD⊥AC，
∴∠BAC=90°-50°=40°，
∵∠CAO=∠BAO，
∴∠CAO=∠BAO=20°，
设∠GAE=α，则α+20°=45°+$\frac{1}{2}$α，
α=50°，
∴∠GAC=30°，
在Rt△APG中，cos30°=$\frac{AP}{AG}$，
∴AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，
∵AB=AC，∠B=∠C，∠AHC=∠APE=90°，
∴△ACH≌△ABP，
∴AH=AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，
S_△ACF=$\frac{1}{2}$AH•CF=$\frac{1}{2}$AP•CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG×CF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、特殊角的三角函数、圆心角、弧、圆周角之间的关系等知识，第一问也可以连接半径证明三角形全等得出结论；第三问有难度，得出AH=AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG是关键．