Question

【题目】如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.

（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°. 求证：∠APB是∠MON的智慧角；

（2）如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交轴和轴于点A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）或

【解析】试题分析：（1）由角平分线求出∠AOP=∠BOP=，∠MON=45°，再证出∠OAP=∠OPB，得出对应边成比例，得出OP2=OAOB，即可得出结论；

（2）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：

①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC=2CA不可能；当得A在x轴的正半轴上时；先求出，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：

，得出OB=3b，OA=a，求出OAOB=，根据∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出点P的坐标；
②当点B在y轴的负半轴上时；由题意得出：AB=CA，由AAS证明△ACH≌△ABO，得出OB=CH=b，OA=AH=a，得出OAOB=，求出OP，即可得出点P的坐标．

解：(1)证明：∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点，

∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°，

∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，

∴∠OAP+∠APO=135°，

∵∠APB=135°，

∴∠APO+∠OPB=135°，

∴∠OAP=∠OPB，

∴△AOP∽△POB，

∴，

∴OP2=OAOB，

∴∠APB是∠MON的智慧角；

(2)设点C(a,b)，则ab=3，

过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：

①当点B在y轴正半轴上时；点A在x轴的负半轴上时，如图2:

BC=2CA不可能;

当点A在x轴的正半轴上时，如图3:

∵BC=2CA，

∴，

∵CH∥OB，

∴△ACH∽△ABO，

∴,

∴OB=3b,OA=a，

∴OAOB=a3b=ab=，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP=，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴点P到x,y轴的距离相等为

∴点P的坐标为：；

②当点B在y轴的负半轴上时,如图4,

∵BC=2CA，

∴AB=CA，

∵∠AHC=∠AOB=90°，

又∵∠BAO=∠CAH,

∴△ACH≌△ABO(AAS)，

∴OB=CH=b,OA=AH=a，

∴OAOB=ab=，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP=

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴点P到x,y轴的距离相等为，

∴点P的坐标为：；

综上所述：点P的坐标为：或 .