Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点H是边BC上一点（不与点B、点C重合）．连接DH交正方形对角线AC于点E，过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G．延长FG与BC的延长线交于点P，连接DF、DP、FH．

（1）∠FDH=______°；DF与DP的位置关系是______，DF与DP的大小关系是______；

（2）在（1）的结论下，若AD=4，求△BFH的周长；

（3）在（1）的结论下，若BP=8，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）45，DF⊥DP，DF=DP；（2）△BFH的周长= 8；（3）AE=4．

【解析】

（1）取DF的中点K，连接AK，EK．想办法证明A，F，E，D四点共圆，推出∠DFE=∠DAE=45°，取PD中点N，连接EN，NC，同法可证：NE=NC=NP=ND，推出D，E，C，P四点共圆，推出∠DPE=∠DCE=45°，可得∠PDF=90°，△DFP是等腰直角三角形，即可解决问题；

（2）只要证明Rt△DAF≌Rt△DCF（HL），推出AF=CP，再证明FH=PH，即可推出△BFH的周长=BF+BH+FH=BF+BH+HP=BF+BH+CH+CP=BF+BC+AF=BC+AB=2AB=2AD；

（3）如图2中，作EM⊥AE交AD的延长线于M，连接PM．想办法证明BP=AM，AM=AE即可解决问题；

解：（1）取DF的中点K，连接AK，EK．

∵DH⊥FP，

∴∠DEF=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAF=∠BCD=∠DCP=90°，∠DAC=∠DCA=45°，

∵FK=KD，

∴KA=KF=KD=KE，

∴A，F，E，D四点共圆，

∴∠DFE=∠DAE=45°，

取PD中点N，连接EN，NC，同法可证：NE=NC=NP=ND，

∴D，E，C，P四点共圆，

∴∠DPE=∠DCE=45°，

∴∠PDF=90°，△DFP是等腰直角三角形，

∴DF=DP，DF⊥DP，

∵DE⊥PF，

∴∠FDE=∠PDE=∠PDF=45°，

故答案为45，DF⊥DP，DF=DP．

（2）∵AD=DC，DF=DP，∠DAF=∠DCP=90°，

∴Rt△DAF≌Rt△DCF（HL），

∴AF=CP

∵DF=DP，DE⊥PF，

∴EF=PE，

∴FH=PH，

∴△BFH的周长=BF+BH+FH=BF+BH+HP=BF+BH+CH+CP=BF+BC+AF=BC+AB=2AB=2AD=8．

（3）如图2中，作EM⊥AE交AD的延长线于M，连接PM．

∵△DFE，△AEM都是等腰直角三角形，

∴EF=ED，EA=EM，

∵∠AEM=∠FED=90°，

∴∠AEF=∠DEM，

∴△AEF≌△MED（SAS），

∴AF=DM，

∵AF=PC，

∴DM=PC，

∵DM∥PC，∠DCP=90°，

∴四边形DCPM是矩形，四边形ABPM是矩形，

∴AM=BP，

∵AM=AE，

∴BP=AE，

∵PB=8，

∴AE=4．