Question

在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒

2

个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为

 

时，△PQB为直角三角形．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,矩形的性质

专题：几何动点问题

分析：要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可；

解答：解：作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，
∵∠POQ=45°，
∴∠OPG=45°，
∵OP=

2

t，
∴OG=PG=t，
∴点P（t，t），
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理可得：PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，
①若∠PQB=90°，则有PQ²+BQ²=PB²，
即：2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，
整理得：4t²-8t=0，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2，
∴t=2，
②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，
∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，
整理得：t²-10t+20=0，
解得：t=5±

5

．
∴当t=2或t=5+

5

或t=5-

5

时，△PQB为直角三角形．
故答案为：2或5+

5

或5-

5

．

点评：本题考查了勾股定理，用到的知识点是动点问题，勾股定理的运用，矩形的性质，直角三角形的性质，解答本题关键是讨论点P的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的t值，同时要数形结合进行思考．