【题目】已知是一段圆弧上的两点,有在直线的同侧,分别过这两点作的垂线,垂足为, 是上一动点,连结,且.
(1)如图①,如果,且,求的长.
(2)(i)如图②,若点E恰为这段圆弧的圆心,则线段之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.
(ii)再探究:当分别在直线两侧且,而其余条件不变时,线段之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论,不必证明.
【答案】(1);(2)(i),证明见解析;(ii)当A、D分别在直线两侧时,线段AB、BC、CD有如下等量关系: ()或().
【解析】解:(1)∵AB⊥于B,DC⊥于C,
∴∠ABE=∠ECD=90°.
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°,且∠AED=90°,
∴∠CED=90°-∠BEA.
又∠BAE=90°-∠BEA,
∴∠BAE=∠CED.
∴Rt△ABE∽Rt△ECD.
(或:∵AB⊥于B,DC⊥于C,∴AB∥DC.∴Rt△ABE∽Rt△ECD).
∴.
∵, ,
∴.
又,∴.
在中,由勾股定理,得
∴ .
(2)(i)猜想: .
证明:在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°,
∴∠BAE=90°-∠AEB.
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°,
且∠AED=90°,
∴∠CED=90°-∠AEB.
∴∠BAE=∠CED.
∵DC⊥BC于点C,∴∠ECD=90°.
由已知,有.
于是在Rt△ABE和Rt△ECD中,
∵∠ABE=∠ECD=90°,∠BAE=∠CED, ,
∴Rt△ABE≌Rt△ECD.(AAS)
∴.
∴.即.
(ii)当A、D分别在直线两侧时,线段AB、BC、CD有如下等量关系:
()或().
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【题目】在频率分布直方图中,以下说法错误的是( )
A.每个小长方形的面积等于频数
B.每个小长方形的面积等于频率
C.频率=频数÷数据总数
D.各个小长方形面积和等于1
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【题目】将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中的“○”的个数,若第n个“龟图”中有245个“○”,则n=( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,AE平分∠BAD交BC于E,若∠CAE=15°,则∠AEO=( )
A.30°
B.25°
C.22.5°
D.20
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【题目】已知:如图,四边形ABCD为正方形, E为CD边上的一点,连接AE,并以AE为对称轴,作与△ADE成轴对称的图形△AFE,延长EF(或FE)交直线BC于G。
(1)求证:DE+BG=EG;∠EAG=45°;
(2)AB=1,GF=m,FE=n,求m+n+mn的值;
(3)若AB=6,∠BAG=∠CEG,求GE.
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