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【题目】已知是一段圆弧上的两点,有在直线的同侧,分别过这两点作的垂线,垂足为 上一动点,连结,且

(1)如图①,如果,且,求的长.

(2)(i)如图②,若点E恰为这段圆弧的圆心,则线段之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.

(ii)再探究:当分别在直线两侧且,而其余条件不变时,线段之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论,不必证明.

【答案】(1);(2)(i),证明见解析;(ii)当AD分别在直线两侧时,线段ABBCCD有如下等量关系: )或).

【解析】解:(1)∵AB于B,DCC

∴∠ABE=∠ECD=90°.

∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°,且∠AED=90°,

∴∠CED=90°-∠BEA

又∠BAE=90°-∠BEA

∴∠BAE=∠CED

∴Rt△ABE∽Rt△ECD

(或:∵ABBDCC,∴ABDC.∴Rt△ABE∽Rt△ECD).

,∴

中,由勾股定理,得

(2)(i)猜想:

证明:在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°,

∴∠BAE=90°-∠AEB

又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°,

且∠AED=90°,

∴∠CED=90°-∠AEB

∴∠BAE=∠CED

DCBC于点C,∴∠ECD=90°.

由已知,有

于是在Rt△ABE和Rt△ECD中,

∵∠ABE=ECD=90°,∠BAE=∠CED

∴Rt△ABE≌Rt△ECD.(AAS)

.即

(ii)当AD分别在直线两侧时,线段ABBCCD有如下等量关系:

)或).

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