Question

10．如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p-1）（其中p＞1）作 轴的平行线分别交双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）和y=-$\frac{m}{x}$（x＜0）于点M、N．
（1）求m的值；
（2）求直线l的解析式；
（3）是否存在实数p，使得S_△AMN=4S_△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点B的坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比可得MN=4MP，再根据反比例函数解析式表示出点M、N，然后表示出MN、MP，最后列出方程求解即可．

解答 解：（1）将点B（2，1）代入y=$\frac{m}{x}$得，m=1×2=2；

（2）设直线l的解析式为y=kx+b，
将点A（1，0），B（2，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
所以，直线l：y=x-1；

（3）存在．理由如下：
∵S_△AMN=4S_△AMP，MN∥x轴，
∴NM=4MP，
设M（$\frac{2}{p-1}$，p-1），N（-$\frac{2}{p-1}$，p-1），
则MN=$\frac{4}{p-1}$，MP=|p-$\frac{2}{p-1}$|，
①$\frac{4}{p-1}$=4（p-$\frac{2}{p-1}$），解得p₁=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，p₂=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$（舍去），
②$\frac{4}{p-1}$=4（$\frac{2}{p-1}$-p），解得p₃=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，p₄=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
综上，满足条件的p的值为$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数综合题，学会待定系数法求函数解析式，解方程组以及会计算三角形的面积的知识．注意点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式．