Question

1．在边长为2的正方形ABCD中E是BC边上的中点，连接AE，Q是线段AE上的动点，P是射线AD上的动点，AP=x，AQ=y，△APQ的面积始终=5，
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当x为何值时△APQ为直角三角形；
（3）在（2）的条件下，以D为圆心，r为半径的圆与直线PQ相切，求r；
（4）求以PQ为边长的正方形面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）作QH⊥AD于点H，则AB∥QH，证得△ABE∽△QHA，得出$\frac{y}{\sqrt{5}}$=$\frac{QH}{2}$，进而得出QH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y，根据S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$x•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y=5，即可求得y与x之间的函数关系式；
（2）证得△APQ∽△EAB，得出$\frac{y}{BE}$=$\frac{x}{AE}$，得出$\frac{\frac{5\sqrt{5}}{x}}{1}$=$\frac{x}{\sqrt{5}}$，解得x=5，从而得出当x=5时△APQ为直角三角形；
（3）设切点为F，连接DF，则DF⊥PQ，得出DF∥AQ，进一步得出△PDF∽△PAQ，得出$\frac{3}{5}$=$\frac{DF}{\sqrt{5}}$，即可求得圆的半径r=DF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
（4）由△ABE∽△QHA得出AH=$\frac{1}{2}$QH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$y，则PH=x-$\frac{\sqrt{5}}{5}$y，根据勾股定理求得PQ²=PH²+QH²=（x-$\frac{\sqrt{5}}{5}$y）²+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y）²=（x-$\frac{5}{x}$）²+（$\frac{10}{x}$）²=x²+$\frac{125}{{x}^{2}}$-10，因为x²+$\frac{125}{{x}^{2}}$≥2x•$\frac{\sqrt{125}}{x}$=10$\sqrt{5}$，所以PQ²的最小值为10$\sqrt{5}$-10．

解答 解：（1）∵AB=2，BE=1，
∴AE=$\sqrt{5}$，
作QH⊥AD于点H，则AB∥QH．
∵AB∥QH，
∴∠BAE=∠AQH，
又∵∠B=∠AHQ=90°，
∴△ABE∽△QHA，
∴$\frac{AQ}{AE}=\frac{QH}{AB}$，即$\frac{y}{\sqrt{5}}$=$\frac{QH}{2}$，
∴QH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y，
∵∴y=$\frac{5\sqrt{5}}{x}$（0≤x≤5）；

（2）如图2，当∠AQP=90°时，∠AQP=∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAQ=∠AEB，
∴△APQ∽△EAB．
∴$\frac{y}{BE}$=$\frac{x}{AE}$，
∵AE=$\sqrt{5}$，BE=1，
∴$\frac{\frac{5\sqrt{5}}{x}}{1}$=$\frac{x}{\sqrt{5}}$，
∴x=5，
∴当x=5时△APQ为直角三角形；

（3）如图2，设切点为F，连接DF，则DF⊥PQ，
∴DF∥AQ，
∴△PDF∽△PAQ，
∴$\frac{PD}{PA}$=$\frac{DF}{AQ}$，
∵x=5时，y=$\frac{5\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{DF}{\sqrt{5}}$，
∴DF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴r=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；

（4）如图1，∵△ABE∽△QHA，
∴$\frac{AH}{QH}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AH=$\frac{1}{2}$QH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$y，
∴PH=x-$\frac{\sqrt{5}}{5}$y，
∴PQ²=PH²+QH²=（x-$\frac{\sqrt{5}}{5}$y）²+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y）²，
∵y=$\frac{5\sqrt{5}}{x}$，
∴PQ²=（x-$\frac{5}{x}$）²+（$\frac{10}{x}$）²=x²+$\frac{125}{{x}^{2}}$-10，
∵x²+$\frac{125}{{x}^{2}}$≥2x•$\frac{\sqrt{125}}{x}$=10$\sqrt{5}$，
∴PQ²的最小值为10$\sqrt{5}$-10；
∴正方形面积的最小值是10$\sqrt{5}$-10．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质以及勾股定理的运用，充分利用正方形的性质和三角形相似的性质是解题的关键．