如图.等边三角形ABC的边长为4.直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l上运动到某一位置时.连接PC.并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ.记点P的对应点为Q.线段PA的长为m．(1)①∠QBC=90°,②如图1.当点P与点B在直线AC的同侧.且m=3时.点Q到直线l的距离等于2+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,(2)当旋转后的点Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（m＞0）．

（1）①∠QBC=90°；
②如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且m=3时，点Q到直线l的距离等于2+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（2）当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为P₁，Q₁．在图2中画出此时的线段P₁C及△BCQ₁，并直接写出相应m的值；
（3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$时，求m的值．

分析（1）根据旋转的性质得到∠QBC=∠PAC=90°；
（2）根据题意画出图形，利用勾股定理求得m的值；
（3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F．易证四边形ADFG为矩形．由等边△ABC的性质易推知DF=$\frac{1}{2}$AC=2，∠CBG=$\frac{1}{2}$∠CBA=30°；根据旋转的性质得到：△ACP≌△BCQ，则其对应边相等：AP=BQ=m，对应角相等∠PAC=∠QBC=90°，所以通过解Rt△QBF求得QF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．要使△PAQ存在，则点P不能与点A，P₁重合，所以点P的位置分为以下两种情况：
i）如图2，当点P在（2）中的线段P₁A上（点P不与点A，P₁重合）时，可得0＜m＜$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，此时点Q在直线l的下方，由三角形的面积公式来求m的值；
ii）如图3，当点P在（2）中的线段AP₁的延长线上（点P不与点A，P₁重合）时，可得m＞$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，此时点Q在直线l的上方，由三角形的面积公式来求m的值．

解答解：（1）①∵AC⊥l，
∴∠PAC=90°，
∴由旋转的性质得到：∠QBC=∠PAC=90°．
②m=3时，点Q到直线l的距离等于2+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
故答案是：90；2+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；

（2）所画图形见图1．m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（3）如图2，作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F．
∵CA⊥直线l，
∴∠CAP=90°．
易证四边形ADFG为矩形．
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴∠ACB=60°，DF=AG=CG=$\frac{1}{2}$AC=2，∠CBG=$\frac{1}{2}$∠CBA=30°．
∵将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，
∴△ACP≌△BCQ．
∴AP=BQ=m，∠PAC=∠QBC=90°．
∴∠QBF=60°．
在Rt△QBF中，∠QFB=90°，∠QBF=60°，BQ=m，
∴QF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．
要使△PAQ存在，则点P不能与点A，P₁重合，所以点P的位置分为以下两种情况：
i）如图2，当点P在（2）中的线段P₁A上（点P不与点A，P₁重合）时，可得0＜m＜$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，此时点Q在直线l的下方．
∴DQ=DF-QF=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．
∵S_△PAQ=$\frac{1}{2}$AP•DQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$m（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
整理，得$\sqrt{3}$m²-4m+$\sqrt{3}$=0．
解得m₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，m₂=$\sqrt{3}$．
经检验，m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\sqrt{3}$在0＜m＜$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的范围内，均符合题意．
ii）如图3，当点P在（2）中的线段AP₁的延长线上（点P不与点A，P₁重合）时，可得m＞$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，此时点Q在直线l的上方．
∴DQ=QF-DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-2．
∵S_△PAQ=$\frac{1}{2}$AP•DQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$m（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-2）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
整理，得 3m²-4$\sqrt{3}$m-3=0．
解得 m=$\frac{2\sqrt{3}±\sqrt{21}}{3}$（舍负）．
经检验，m=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{21}}{3}$在m＞$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的范围内，符合题意．
综上所述，m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{21}}{3}$时，△PAQ的面积等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评本题主要考查了几何知识的综合运用和几何变换，求相关线段的长度和解一元二次方程是利用代数方法解决几何问题，本题意在加强学生的图形与几何的逻辑推理以及代数几何综合能力．

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