Question

某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（2014•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DF⊥AC于F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若cosC=，CF=9，求AE的长．

　

Answer 1

【考点】切线的判定．

【分析】（1）连接OD，AD，求出OD∥AC，推出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可；

（2）求出CD、DF，推出四边形DMEF和四边形OMEN是矩形，推出OM=EN，EM=DF=12，求出OM，即可求出答案．

【解答】解：（1）连接OD，AD，

∵AB是⊙的直径，

∴∠ADB=90°，

又∵AB=AC，

∴BD=CD

又∵OB=OA，

∴OD∥AC

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF

又∵OD为⊙的半径，

∴DF为⊙O的切线．

 

（2）连接BE交OD于M，过O作ON⊥AE于N，

则AE=2NE，

∵cosC=，CF=9，

∴DC=15，

∴DF==12，

∵AB是直径，

∴∠AEB=∠CEB=90°，

∵DF⊥AC，OD⊥DF，

∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°，

∴四边形DMEF是矩形，

∴EM=DF=12，∠DME=90°，DM=EF，

即OD⊥BE，

同理四边形OMEN是矩形，

∴OM=EN，

∵OD为半径，

∴BE=2EM=24，

∵∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C，

∴△CFD∽△CEB，

∴=，

∴=，

∴EF=9=DM，

设⊙O的半径为R，

则在Rt△EMO中，由勾股定理得：R²=12²+（R﹣9）²，

解得：R=，

则EN=OM=﹣9==，

∴AE=2EN=7．

【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定，切线的判定，平行线的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．