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【题目】在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax22ax3aa0)图象与x轴交于点AB(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D

1)求点AB的坐标;

2)若M为对称轴与x轴交点,且DM=2AM

求二次函数解析式;

t2xt时,二次函数有最大值5,求t值;

若直线x=4与此抛物线交于点E,将抛物线在CE之间的部分记为图象记为图象P(含CE两点),将图象P沿直线x=4翻折,得到图象Q,又过点(10,﹣4)的直线y=kx+b与图象P,图象Q都相交,且只有两个交点,求b的取值范围.

【答案】1A(﹣10)、B30);(2y=x22x3t值为041b11b=4

【解析】

1)令y0,即:ax22ax3a0,解得:x=﹣13,即可求解;

2DM2AM4,即点D的坐标为(1,﹣4),将点D的坐标代入二次函数表达式,即可求解;

xtxt2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况,讨论求解即可;

如下图所示,直线mln都是直线ykx+b与图象PQ都相交,且只有两个交点的临界点,即可求解.

解:(1)令y=0,即:ax22ax3a=0,解得:x=13

即点AB的坐标分别为(﹣10)、(30),函数的对称轴

2)①DM=2AM=4,即点D的坐标为(1,﹣4),

将点D的坐标代入二次函数表达式得:

4=a2a3a,解得:a=1,即函数的表达式为:y=x22x3

②当x=tx=t2在对称轴右侧时,函数在x=t处,取得最大值,

即:t22t3=5,解得:t=24(舍去t=2),即t=4

同理当x=tx=t2在对称轴左侧或两侧时,解得:t=0

故:t值为04

③如下图所示,直线mln都是直线y=kx+b与图象PQ都相交,且只有两个交点的临界点,

ERC'坐标分别为(45)、(10,﹣4)、(8,﹣3),直线l的表达式:把点ER的坐标代入直线y=kx+b得:

解得:

同理可得直线m的表达式为:

直线n的表达式为:y=4,故:b的取值范围为:﹣1≤b11b=4

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