Question

【题目】如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．

（1）求m的值及C点坐标；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得它到B、C两点的距离和最小，若存在，求出此时M点坐标，若不存在，请说明理由；

（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）m=4，C（0，4）；（2）存在M（），见解析；（3）P（）或P（）.

【解析】

（1）用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先求得点C的坐标，然后依据待定系数法求得直线BC的解析式，然后再求得抛物线的对称轴方程，由三角形的三边关系可知当点P、C、B在一条直线上时，PC+PB有最小值，最后将点P的横坐标代入直线BC的解析式可求得点P的纵坐标；

（3）先判断出四边形PBQC时菱形时，点P是线段BC的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解．

解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+3x+m，

解得，m＝4，

二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+4，

令x＝0，得y＝4，

∴C（0，4）；

（2）存在，如图所示

∵MC+MB≥BC，

∴当点M、C、B在一条直线上时，MC+MB有最小值．

∵点C的坐标为（0，4）．

设直线BC的解析式为y＝kx+4．

∵将点B、C的坐标代入得：，解得k＝﹣1，b＝4，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，

∵抛物线的对称轴为，

∴点M的横坐标为，

∵将代入直线BC的解析式得，

∴点M的坐标为；

（3）如图，

∵点P在抛物线上，

∴设P（m，﹣m2+3m+4），

当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，

∵B（4，0），C（0，4）

∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，

∴m＝﹣m2+3m+4，

∴，

∴或．