Question

如图一块三角形土地的底边BC=100m，高线AH=80m，现要沿着底边BC修建一座底面是矩形DEFG的大楼，设矩形DEFG的一边长DE=x（m）．
（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少（用关于x的代数式表示）；   
（2）试用关于x代数式表示大楼底面矩形DEFG的面积S；
（3）当DE为多少时，大楼底面的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的应用,二次函数的应用

专题：应用题

分析：（1）DE=x，则MH=x，AM=AH-MH=80-x，证明△ADG∽△ABC，利用相似比可求出DG的长；
（2）根据矩形的面积公式易得S=-

5

4

x²+100x（0＜x＜80）；
（3）利用二次函数的最值问题求解．

解答：解：（1）DE=x，则MH=x，AM=AH-MH=80-x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

DG

BC

=

AM

AH

，即

DG

100

=

80-x

80

，
∴DG=（-

5

4

x+100）m；
（2）S=DE•DG
=x（-

5

4

x+100）
=-

5

4

x²+100x（0＜x＜80）；
（3）y=-

5

4

x²+100x
当x=-

100

2×(- 5 4 )

=40时，S_最大值=

0-1002

4×(- 5 4 )

=2000，
即DE为40m时，大楼底面的面积最大，最大值是2000m²．

点评：本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．也考查了二次函数的应用．