Question

20．△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12，D是AB的中点，正方形DEFG绕点D转动，交△ABC的两边AC、BC于点P、Q．

（1）连接CD，如图1．求证：△CDP≌△BDQ；
（2）正方形DEFG的对角线DF交BC边于点M，连接PM，如图2．设BQ=x．
①若QM=5，求x的值；
②若BM=a，求x的值（用含a的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）先根据等腰直角三角形的性质得出BD=$\frac{1}{2}$AB，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，∠B=45°，再由AAS定理即可得出结论；
（2）①由（1）可知PC=BQ=x，在Rt△PCM中根据勾股定理即可得出x的值；
②由BM=a可得出CM=12-a，再由勾股定理即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12，D是AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，∠B=45°，∠ACD=45°，
∴AD=BD．
∵四边形DEFC是正方形，
∴∠EDG=90°．
∵∠BDQ+∠GDC=90°，∠GDC+∠PDC=90°，
∴∠BDQ=∠PDC．
在△CDP与△BDQ中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠BDQ=∠PDC\\∠B=∠PCD\\ CD=BD\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△BDQ（AAS）．

（2）①∵由（1）可知PC=BQ=x，
∴QM=PM=5、PC=x、MC=12-5-x=7-x，
∴在Rt△PCM中PM²=MC²+PC²，即5²=（7-x）²+x²，解得x=3或x=4；
②若BM=a，
∵QM=PM=a-x，PC=x，MC=12-a，
∴（a-x）²=（12-a）²+x²，化简得：x=$\frac{12a-72}{a}$．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．