Question

9．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．试问：
（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由．
（2）求证：PC²=PE•PF．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质可知：∠CDP=∠ADP，DC=AD，又因为PD=PD，所以△APD全等△CPD；
（2）首先证明∠DAP=∠AFP，从而得到△EPA∽△APE，故PA²=PE•PF，因为PC=PA，所以PC²=PE•PF．

解答 解：（1）△APD≌△CPD．
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠CDP=∠ADP，DC=AD．
在△APD和△CPD中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=DA}\\{∠CDP=∠ADP}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD．
（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DCP=∠DAP，PC=PA．
∵DC∥AB，
∴∠DCP=∠AFP．
∴∠DAP=∠AFP．
又∵∠FPA=∠APE，
∴△EPA∽△APE．
∴.$\frac{PA}{PE}=\frac{PF}{PA}$，即PA²=PE•PF．
∴PC²=PE•PF．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证得∠DAP=∠AFP是解题的关键．