Question

4．我们对多项式x²+x-6进行因式分解时，可以用特定系数法求解．例如，我们可以先设x²+x-6=（x+a）（x+b），显然这是一个恒等式．根据多项式乘法将等式右边展开有：x²+x-6=（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab
所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=1，ab=-6，解得a=3，b=-2或者a=-2，b=3．所以x²+x-6=（x+3）（x-2）．当然这也说明多项式x2+x-6含有因式：x+3和x-2．
像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法．利用上述材料及示例解决以下问题．
（1）已知关于x的多项式x²+mx-15有一个因式为x-1，求m的值；
（2）已知关于x的多项式2x³+5x²-x+b有一个因式为x+2，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根据多项式乘法将等式右边展开有：x²+mx-15=（x-1）（x+n）=x²+（n-1）x-n，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值；
（2）解答思路同（1）．

解答 解：（1）由题设知：x²+mx-15=（x-1）（x+n）=x²+（n-1）x-n，
故m=n-1，-n=-15，
解得n=15，m=14．
故m的值是14；

（2）由题设知：2x³+5x²-x+b=（x+2）（2x+t）（x+k）=2x³+（2k+t+4）x²+（4k+2t+kt）x+2kt，
∴2k+t+4=5，4k+2t+kt=-1，2kt=b．
解得：k₁=$\frac{3}{2}$，k₂=-1．
∴t₁=-2，t₂=3．
∴b₁=b₂=2kt=-6．

点评 本题考查了解一元二次方程-因式分解法和因式分解的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目比较好，但有一定的难度．