Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．

（1）求OA、OC的长；

（2）求证：DF为⊙O′的切线；

（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形．那么直线BC

上存不存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角

形？如果不存在，说明理由；如果存在，直接写出P点

的坐标．

 

Answer 1

（1）解：在矩形OABC中，设OC=x，则OA=x+2，

∴x（x+2）=15，

∴x₁=3，x₂=﹣5，

∴x₂=﹣5（不合题意，舍去），

∴OC=3，OA=5；

（2）证明：如图1，连接O′D，

在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=，

在△OCE和△ABE中，

，

∴△0CE≌△ABE（SAS），

∴EA=EO，

∴∠1=∠2；

∵在⊙O′中，O′O=O′D，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴O′D∥AE；

∵DF⊥AE，

∴DF⊥O′D，

∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，

∴DF为⊙O′切线；

（3）解：存在．

其坐标为（1，3）或（9，3）或（4，3）或（﹣4，3）．