Question

3．如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，点E是$\widehat{AB}$上一点（不与A、B重合），点F是$\widehat{BC}$上一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，有下列结论：
①$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④若BG=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则BG，GE，$\widehat{BE}$围成的面积是$\frac{π}{12}$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
其中正确的是①②（把所有正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 连接OC、OB、CF、BE．
①先证明$\widehat{BE}$=$\widehat{CF}$，由$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$即可证明结论①正确；
②证明△BOG≌△COH即可解决问题；
③只要证明S_{四边形OGBH}=S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=定值即可；
④求出∠BOG的度数，由扇形的面积减去三角形的面积即可得出结论．

解答 解：如图所示，连接OC、OB、CF、BE．
∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CF}$，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$；故①正确，
在△BOG与△COH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOG=∠COH}\\{OC=OB}\\{∠OBG=∠OCH=45°}\end{array}\right.$，
∴△BOG≌△COH（ASA），
∴OG=OH，∵∠HOG=90°
∴△OGH是等腰直角三角形，②正确，
∴S_△OBG=S_△OCH，
∴S_{四边形OGBH}=S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=定值，故③错误；
作OM⊥AB于M，则OM=BM=$\frac{1}{2}$AB=1，OB=$\sqrt{2}$OM=$\sqrt{2}$，
∴GM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠GOM=$\frac{GM}{OM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠GOM=30°，
∵∠BOM=45°，
∴∠BOG=45°-30°=15°，
∴扇形BOE的面积=$\frac{15π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$=$\frac{π}{12}$，
∵BG=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AG=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
过G作GP⊥BO于P，
∴PG=PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴△OBG的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴BG，GE，$\widehat{BE}$围成的面积=扇形BOE的面积-△BOG的面积=$\frac{π}{12}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$，故④错误．
故答案为：①②．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、四边形的面积、三角函数、扇形面积公式等知识，本题综合性强，有一定难度，属于中考常考题型．