Question

11．已知二次函数的表达式为y=x²+mx+n．
（1）若这个二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），求实数m，n的值；
（2）若△ABC是有一个内角为30°的直角三角形，∠C为直角，sinA，cosB是方程x²+mx+n=0的两个根，求实数m，n的值．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出m、n的值；
（2）分∠A=30°或∠B=30°两种情况考虑：当∠A=30°时，求出sinA、cosB的值，利用根与系数的关系即可求出m、n的值；当∠B=30°时，求出sinA、cosB的值，利用根与系数的关系即可求出m、n的值．

解答 解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=x²+mx+n中，
$\left\{\begin{array}{l}{1+m+n=0}\\{9+3m+n=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴实数m=-4、n=3．
（2）当∠A=30°时，sinA=cosB=$\frac{1}{2}$，
∴-m=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，n=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$，
∴m=-1，n=$\frac{1}{4}$；
当∠B=30°时，sinA=cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴m=-$\sqrt{3}$，n=$\frac{3}{4}$．
综上所述：m=-1、n=$\frac{1}{4}$或m=-$\sqrt{3}$、n=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m、n的值；（2）分∠A=30°或∠B=30°两种情况，求出m、n的值．