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【题目】已知,如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,CDAB 于点 E,点 G 在直径 DF 的延 长线上,∠D=G=30°

1)求证:CG 是⊙O 的切线;

2)若 CD=6,求 GF 的长.

【答案】1)见解析;(22

【解析】

(1)连接OC,利用半径相等及三角形内角和定理计算出∠GCO =90°即可.
(2)利用30度角所对直角边等于斜边一半,设,则,利用勾股定理构建方程求出半径,在直角三角形OCG中利用先是关系即可求得答案

1)证明:连接OC,如图:

OC=OD,∠D=30°

∴∠OCD=D=30°

∵∠G=30°

∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°

∴∠GCO=DCG﹣∠OCD=90°

OCCG

又∵OC是⊙O的半径.

CG是⊙O的切线.

2)解:∵AB是⊙O的直径,CDAB

CE=CD=3

∵在RtOCE中,∠CEO=90°,∠OCE=30°

EO=COCO2=EO2+CE2

EO=x,则CO=2x.∴(2x2=x2+32

解之得x=(舍负值).

CO=2

FO=2

在△OCG中,∵∠OCG=90°,∠G=30°

GO=2CO=4

GF=GOFO=2

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(1)当x=1000时,y= 元/件,w= 元;

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