【题目】如图,在□ABCD中,E,F分别为边AB和CD的中点,连接DE,BF,且AB=2AD=4.
(1)求证:△AED≌△CFB;
(2)当四边形DEBF为菱形时,求出该菱形的面积;
【答案】(1)证明见试题解析;(2).
【解析】
试题(1)首先根据平行四边形的性质可得AD=BC,∠A=∠C,再加上条件AE=CF可利用SAS证明△AED≌△CFB;
(2)作FM⊥AB于M,可以得到△BFC是等边三角形,得到∠FBM=60°,再求出菱形的高FM,从而得到菱形的面积.
解答:证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,
在△ADE和△CBF中,∵AD=BC,∠A=∠C,AE=CF,∴△AED≌△CFB(SAS);
(2)作FM⊥AB于M,
在菱形DEBF中,BE=BF=AB=
,∵CF=
CD=
,BC=AD=
AB=2,∴CF=BC=BF,∴△BFC是等边三角形,∴∠BFC=60°,∵ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠MBF=∠BFC=60°,∴∠FBM=30°,∴MB=
BF=1,∴FM=
MB=
,∴菱形DEBF的面积=BEFM=
.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,AC=12 cm,点P从点B出发,沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,以1 cm/s的速度向点A移动,若点P、Q分别从点B、C同时出发,设运动时间为ts,当t=__________时,△CPQ与△CBA相似.
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【题目】如图,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;
(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
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【题目】如图①,抛物线y=a(x2+2x-3)(a≠0)与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且OC=OB.
(1)直接写出点B的坐标是( , ),并求抛物线的解析式;
(2)设点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴是直线l,连接BD,线段OC上的点E关于直线l的对称点E'恰好在线段BD上,求点E的坐标;
(3)若点F为抛物线第二象限图象上的一个动点,连接BF,CF,当△BCF的面积是△ABC面积的一半时,求此时点F的坐标.
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【题目】如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是 .
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【题目】已知,如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,CD⊥AB 于点 E,点 G 在直径 DF 的延 长线上,∠D=∠G=30°.
(1)求证:CG 是⊙O 的切线;
(2)若 CD=6,求 GF 的长.
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【题目】已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与C重合,再展开,折痕EF交AD边于E,交BC边于F,分别连结AF和CE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若AE=13cm,△ABF的周长为30cm,求△ABF的面积;
(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=ACAP?若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,点C,D是半圆O上的三等分点,直径AB=4,连接AD,AC,作DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F.
(1)求证:AF=DF.
(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号)
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