Question

已知AB∥CD，试讨论下列各种情况下∠A、∠C、∠E三者之间的关系．

①

 

②

 

③

 

④

 

⑤

 

⑥

 

．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：①过E作EF∥AB，推出AB∥EF∥CD，根据平行线的性质得出∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，根据∠AEC=∠AEF+∠CEF推出即可；
②过E作EF∥AB，推出AB∥EF∥CD，根据平行线的性质得出∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，故∠A+∠C+∠AEC=360°；
③延长DC交AE于点F，根据平行线的性质可知∠A=∠EFC，再由三角形外角的性质即可得出结论；
④根据平行线的性质得出∠A=∠DFE，再由三角形外角的性质即可得出结论；
⑤延长BA交CE于点F，根据平行线的性质得出∠C=∠AFE，再由三角形外角的性质即可得出结论；
⑥先根据平行线的性质得出∠C=∠EFB，再由三角形外角的性质即可得出结论．

解答：解：①如图①所示，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF，
∴∠A+∠C=∠AEC；
故答案为：∠A+∠C=∠AEC；
②如图②所示，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠C+∠AEC=360°．
故答案为：∠A+∠C+∠AEC=360°；
③延长DC交AE于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠EFC，
∵∠ECD是△ECF的外角，
∴∠ECD=∠E+∠EFC，即∠E+∠A=∠ECD．
故答案为：∠E+∠A=∠ECD；
④如图④，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠DFE．
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠DFE=∠C+∠E，即∠C+∠E=∠A．
故答案为：∠C+∠E=∠A；
⑤如图⑤，延长BA交CE于点F，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠AFE．
∵∠EAB是△AEF的外角，
∴∠EAB=∠E+∠AFE，即∠E+∠C=∠EAB．
故答案为：∠E+∠C=∠EAB；
⑥如图⑥，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠EFB．
∵∠EFB是△AEF的外角，
∴∠EFB=∠A+∠E，即∠A+∠E=∠C．
故答案为：∠A+∠E=∠C．

点评：本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．