Question

【题目】如图，△ABC角平分线AE、CF交于点P，BD是△ABC的高，点H在AC上，AF＝AH，下列结论：①∠APC＝90°+ABC；②PH平分∠APC；③若BC＞AB，连接BP，则∠DBP＝∠BAC﹣∠BCA；④若PH∥BD，则△ABC为等腰三角形，其中正确的结论有_____（填序号）．

Answer 1

【答案】①④．

【解析】

①利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可判断．

②利用反证法进行判断．

③根据∠DBP＝∠DBC﹣∠PBC＝90°﹣∠ACB﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）＝（∠BAC﹣∠ACB），由此即可判断．

④利用全等三角形的性质证明CA＝CB即可判断．

解：∵△ABC角平分线AE、CF交于点P，

∴∠CAP＝∠BAC，∠ACP＝∠ACB，

∴∠APC＝180°﹣（∠CAP+∠ACP）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝90°+∠ABC，故①正确，

∵PA＝PA，∠PAF＝∠PAH，AF＝AH，

∴△PAF≌△PAH（SAS），

∴∠APF＝∠APH，

若PH是∠APC的平分线，则∠APF＝60°，显然不可能，故②错误，

∵∠DBP＝∠DBC﹣∠PBC＝90°﹣∠ACB﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）＝（∠BAC﹣∠ACB），故③错误，

∵BD⊥AC，PH∥BD，

∴PH⊥AC，

∴∠PHA＝∠PFA＝90°，

∵∠ACF＝∠BCF，CF＝CF，∠CFA＝∠CFB＝90°，

∴△CFA≌△CFB（ASA），

∴CA＝CB，故④正确，

故答案为①④．