Question

【题目】在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE交于点O．

（1）如图1，若M、N分别是OB、OC的中点，求证：OB=2OD；

（2）如图2，若BD⊥CE，AB=8，BC=6，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）依据三角形中位线定理，即可得到DE∥BC，DE=BC，再根据相似三角形的性质即可得到结论；

（2）依据AB=8，BC=6，点D，点E分别是AC，AB的中点，即可得出BE=4，DE=3，再根据勾股定理即可得到DE2+BC2=BE2+BC2，进而得到AC的长．

解：（1）∵BD、CE分别是边AC、AB上的中线，

∴点D，点E分别是AC，AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//BC，DE=BC，

同理可证：MN//BC，MN=BC，

∴四边形DEMN是平行四边形，

∴OD=OM，

∵OB=2OM，

∴OB=2OD；

（2）∵AB=8，BC=6，点D，点E分别是AC，AB的中点，

∴BE=4， DE=3，

又∵BD⊥CE，

∴DE2=DO2+EO2，BC2=BO2+CO2，

BE2=BO2+EO2，CD2=DO2+CO2，

∴DE2+BC2=BE2+CD2，

即32+62=42+CD2，

解得CD=，

∴AC=2CD=．