Question

【题目】在矩形ABCD中，E为射线BC上一点，DF⊥AE于F，连接DE．

（1）如图1，若E在线段BC上，且CE＝EF，求证：AD＝AE；

（2）若AB＝6，AD＝10，在点E的运动过程中，连接BF．

①当△ABF是以AB为底的等腰三角形时，求BE的长；

②当BF∥DE时，若S△ADF＝m，S△DCE＝n，探究m﹣n的值并简要说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①BE的长是2或18；②m﹣n＝0，理由见解析．

【解析】

（1）根据矩形的性质可证△CED≌△FED即可证明；
（2）①分两种情况：当点E在线段BC上时，AF=BF，利用矩形的性质解答即可；当点E在BC延长线上时，AF=BF，利用矩形的性质解答即可；
②当BF∥DE时，延长BF交AD于G，利用三角形的面积和平行四边形的面积之间的关系解答即可．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DCE＝90°，AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEC，

∵DF⊥AE

∴∠DCE＝∠DFE＝90°，

∵CE＝EF，DE＝DE，

∴△CED≌△FED（HL），

∴∠CED＝∠FED，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AD＝AE；

（2）①分两种情况：当点 E 在线段 BC 上时，AF＝BF，如图 1 所示：

∴∠ABF＝∠BAF，

∵∠ABF+∠EBF＝90°，

∠BAF+∠BEF＝90°，

∴∠EBF＝∠BEF，

∴EF＝BF，

∴AF＝EF，

∵DF⊥AE，

∴DE＝AD＝10，

在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，

∴CE＝8，

∴BE＝10﹣8＝2；

当点 E 在 BC 延长线上时，AF＝BF，如图 2 所示：

同理可证 AF＝EF，

∵DF⊥AE，

∴DE＝AD＝10，

在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，

∴CE＝8，

∴BE＝10+8＝18，

综上，BE的长是2或18；

②m﹣n＝0，

理由如下：

当 BF∥DE 时，延长 BF 交 AD 于 G．如图3：

因为四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，

∠BAG＝∠DCE＝90°，

∵BF∥DE，

∴四边形 BEDG 是平行四边形，

∴BE＝DG，

∴S△DEF＝BEDG，AG＝CE，

S△BEF+S△DFG＝SBEDG，

∵△ABG≌△CDE，

∴S△ABG＝S△CDE，

∵S△ABE＝SBEDG，

∴S△ABE＝S△BEF+S△DFG，

∴S△ABF＝S△DFG，

∴S△ABF+S△AFG＝S△DFG+S△AFG，

即S△ABG＝S△ADF，

∴S△CDE＝S△ADF，

即m﹣n＝0．