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【题目】如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别于BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作⊙O的切线交边AC于点F.

(1)求证:DF⊥AC;

(2)若⊙O的半径为5,∠CDF=30°,求的长(结果保留π).

【答案】(1)详见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)连接OD,由切线的性质即可得出∠ODF=90°,再由BD=CD,OA=OB可得出OD是△ABC的中位线,根据三角形中位线的性质即可得出,根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°,从而证出DF⊥AC;(2)由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°,再结合OB=OD可得出△OBD是等边三角形,根据弧长公式即可得出结论.

试题解析:(1)证明:连接OD,如图所示.

∵DF是⊙O的切线,D为切点,

∴OD⊥DF,

∴∠ODF=90°.

∵BD=CD,OA=OB,

∴OD是△ABC的中位线,

∴OD∥AC,

∴∠CFD=∠ODF=90°,

∴DF⊥AC.

(2)解:∵∠CDF=30°,

由(1)得∠ODF=90°,

∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°.

∵OB=OD,

∴△OBD是等边三角形,

∴∠BOD=60°,

的长=

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